Question

已知数列（An）是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（1/a1+1/a2），a3+a4+a5=64（1/a3+1/a4+1/a5）..

求an

Answer 1

解：
设公比为q。数列各项均为正，则q>0。
a3+a4+a5=64(1/a3+1/a4+1/a5)
a4/q+a4+a4q=64[1/(a4/q) +1/a4 +1/(a4q)]
a4(q+1+1/q)=64[(q+1+1/q)(1/a4)]
a4²=64
a4>0 a4=8
a1=a4/q³=8/q³
a1+a2=2(1/a1+1/a2)=2(a1+a2)/(a1a2)
数列各项均为正，a1+a2>0，等式两边同除以(a1+a2)
2/(a1a2)=1
a1a2=2
a1²q=2
(8/q³)²q=2
q^5=32
q=2
a1²=2/q=2/2=1
a1=1
an=a1q^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)。

Answer 2

1) 设 a1 = x, 比值为 q
x + xq = 2(1/x + 1/(xq))
xq^2 + xq^3 + xq^4 = 64(1/(xq^2) + 1/(xq^3) + 1/(xq^4))
q=2
x=1
an = 2^(n -1)
2) bn = (2^(n-1) + 2^(1-n)) ^2
= 2^(2n-2) + 2 + 2^(2-2n)
Tn = (1-2^(2n))/-3 + 2 + (1-2^(-2n))/(3/4)
= (2^(2n) - 2^(-2n+2) ) /3 +3