Question

如图，△ABC中，AB=2AC,AD平分∠BAC，且AD=BD,求证：CD⊥AC

Answer 1

做DE⊥AB于E即∠AED=90°
∵AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
∴DE是等腰三角形底边AB上的中线（等腰三角形三线合一）
即AE=BE=1/2AB
∵AB=2AC即AC=1/2AB
∴AE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC即∠EAD=∠DAC
∵AD=AD
∴△ADE≌△ACD
∴∠AED=∠ACD=90°
∴CD⊥AC

Answer 2

延长AC到点E，使AC=CE，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠EAD
∵AB=2AC，AC=CE
∴AB=AE
∵AD=AD
∴△ABD全等于△AED（SAS）
∴∠ABD=∠AED
∵AD=BD
∴∠ABD=∠BAD=∠DAE=∠AED
∴AD=AE
∵AC=AE
∴AC⊥DC（三线合一）