Question

设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （1）求集合D（用区间表示）

（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点

Answer 1

解：（1）令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a△=9（1+a）2-48a=9a2-30a+9=3（3a-1）（a-3）
①当0＜a≤
13时，△≥0，
方程g（x）=0的两个根分别为x1=
3a+3-
9a2-30a+94，x2=
3a+3+
9a2-30a+94
所以g（x）＞0的解集为(-∞，
3a+3-
9a2-30a+94)∪(
3a+3+
9a2-30a+94，+∞)
因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=(0，
3a+3-
9a2-30a+94)∪(
3a+3+
9a2-30a+94，+∞)
②当13＜a＜1时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
综上所述，当0＜a≤
13时，D=(0，
3a+3-
9a2-30a+94)∪(
3a+3+
9a2-30a+94，+∞)；
当13＜a＜1时，D=（0，+∞）
（2）f'（x）=6x2-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f'（x）=0，得x=a或x=1
①当0＜a≤
13时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）
因为g（a）=2a2-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
所以0＜a＜x1＜1≤x2，
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（0，a）a（a，x1）（x2，+∞）f'（x）+0-+f（x）↗极大值↘↗所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点
②当13＜a＜1时，由（1）知D=（0，+∞）
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）f'（x）+0-0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1
综上所述，当0＜a≤
13时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当13＜a＜1时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．

Answer 2

解答：根据题意先求不等式2x2-3（1+a）x+6a＞0的解集，
判别式△=9(1+a)^2-48a=9a^2-30a+9=3(3a-1)(a-3)，
通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解。∵a<1 ∴a-3<0
①当0＜a≤1/3时，△≥0，
求出B的解集为(-∞，[3a+3-√(9a^2-30a+9)]/4)∪([3a+3+√(9a^2-30a+9)]/4，+∞)
∴D=A∩B=(0，[3a+3-√(9a^2-30a+9)]/4)∪([3a+3+√(9a^2-30a+9)]/4，+∞)
②当1/3＜a<1时，△＜0，不等式2x2-3（1+a）x+6a＞0恒成立，B的解集为R
∴D=A∩B=（0，+∞）

追问

还有第二小问啊

追答

我有标①和②啊！！