Question

设函数f（x）=（x²+3x+m）e^-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）

（1）若m=3，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（-∞，0）上有2个极值点。
①求实数m的范围；②证明f（x）的极小值大于e。

Answer 1

（1）
m=3时，f(x)=（x²+3x+3)e^(-x)
f'(x)=(2x+3)e^(-x)-（x²+3x+3)e^(-x)
=-(x²+x)e^(-x)
f(0)=3,切点(0,3),斜率k=f'(0)=0
y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程
为y=3
(2)
①
f'(x)=(2x+3)e^(-x)-（x²+3x+m)e^(-x)
=(-x²-x+3-m)e^(-x)
=-(x²+x+m-3)e^(-x)
∵函数f（x）在（-∞，0）上有2个极值点
∴f'(x)=0，（∵e^(-x)>0)
即x²+x+m-3=0有2个不等的负数根x1,x2
∴需Δ=1-4（m-3)>0且x1+x2=-1<0,x1x2=m-3>0
∴3<m<13/4
②
设x1<x2<0
∵g(x)=x²+x+m-3的对称轴为x=-1/2
∴-1<x1<-1/2<x2<0，
∴f'(x)=-(x-x1)(x-x2)e^(-x)
随x变化，f'(x),f(x)变化如下
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 减 极小值 增 极大值 减

∴f(x)极小值=f(x1)=(x²1+3x1+m)e^(-x1)
∵x²1+x1+m-3=0
∴x²1+x1+m=3
∴f(x1)=(2x1+3)e^(-x1)

设h(x1)=(2x1+3)e^(-x1)

-1<x1<-1/2
h'(x1)=2e^(-x1)-(2x1+3)e^(-x1)
=-(2x1+1)e^(-x1)
∵ -1< 2x1+1<0
∴ -(2x1+1)e^(-x1)>0
∴h(x1)为增函数
∴h(x1)>h(-1)=e
即f(x)极小值>e