Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D,E在直线BC上,AD=√5，∠DAE=135°

（1）求证：△DAB∽△AEC
（2）求△ADE的面积
过程要详细

Answer 1

第一个问题：
∵∠BAC＝90°、AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°。
∵∠BAC＝90°、∠DAE＝135°，∴∠DAB＋∠CAE＝∠DAE－∠BAC＝45°。
由三角形外角定理，有：∠ABC＝∠D＋∠DAB、∠ACB＝∠E＋∠CAE，
∴∠D＋∠DAB＝∠E＋∠CAE＝∠DAB＋∠CAE，∴∠D＝∠CAE、∠DAB＝∠E，
∴△DAB∽△AEC。

第二个问题：
过A作AF⊥DE交DE于F。
∵∠BAC＝90°、AB＝AC，∴BC＝√2AB＝√2。
∵AB＝AC、AF⊥BC，∴AF＝BF＝BC/2＝√2/2。
由勾股定理，有：DF＝√（AD^2－AF^2）＝√（5－1/2）＝3√2/2。
∴DB＝DF－BF＝3√2/2－√2/2＝√2。

∵△DAB∽△AEC，∴EC/AB＝AC/DB＝1/√2，∴EC＝1/√2＝√2/2。
∴DE＝DB＋BC＋EC＝√2＋√2＋√2/2＝5√2/2。

∴S(△ADE)＝（1/2）DE×AF＝（1/2）×（5√2/2）×（√2/2）＝5。