Question

如图，在直角三角形△ABC和△AED中

如图，在直角三角形△ABC和△AED中，AC=AB,AD=AE,∠BAC=90°，∠DAE=90°，连CD,点G是CD的中点。求证：GA⊥BE

Answer 1

证明：在AG的延长线上取点M，使AG＝MG，连接MD、MC
∵G是CD的中点
∴CG＝DG
∵AG＝MG
∴平行四边形ACMD
∴CM＝AD，∠ACM+∠CAD＝180
∵AD＝AE
∴CM＝AE
∵∠BAC＝90, ∠DAE＝90
∴∠BAE+∠CAD＝360-∠BAC-∠DAE＝180
∴∠BAE＝∠ACM
∵AB＝AC
∴△ABE≌△CAM （SAS）
∴∠ABE＝∠CAM
又∵∠BAC＝90
∴∠BAH+∠CAM＝180-∠BAC＝90
∴∠BAH+∠ABE＝∠BAH+∠CAM＝90
∴∠AHB＝180-（∠BAH+∠ABE）＝90
∴GA⊥BE

Answer 2

证明:延长AG到M,使GM=GA,连接CM.
∵GM=GA;CG=DG;∠CGM=∠DGA.
∴⊿CGM≌⊿DGA(SAS),CM=AD=AE;∠CMG=∠DAG.
∴CM∥AD,∠ACM=180º-∠CAD;
又∠BAE=360º-∠BAC-∠DAE-∠CAD=180º-∠CAD.
∴∠ACM=∠BAE;又CM=AE(已证);AC=AB(已知).
∴⊿ACM≌⊿BAE(SAS),∠CAM=∠ABE.
故∠BAH+∠ABE=∠BAH+∠CAM=90º,得GA⊥BE.

Answer 3

证明：在AG的延长线上取点M，使AG＝MG，连接MD、MC

∴△ABE≌△CAM （SAS）
∴∠ABE＝∠CAM
又∵∠BAC＝90°
∴∠BAH+∠CAM＝180°-∠BAC＝90
∴∠BAH+∠ABE＝∠BAH+∠CAM＝90
∴∠AHB＝180-（∠BAH+∠ABE）＝90
∴GA垂直BE