Question

数学题，，求高手，，详解~~！！加分哦。。

14、在Rt⊿POQ中；OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ的两直角边分别交于点A、B，（1）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，⊿AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由

。

Answer 1

分析，
连接OM，
M是PQ的中点，
OP=OQ，且∠POQ=90º
∴OM=MQ，且OM⊥PQ
∴∠Q=∠ACM=45º
又，∠AMO+∠BMO=90º
∠QMB+∠BMO=90º
∴∠AMO=∠QMB
∴△AOM≌△BQM
∴AO=BQ，AM=BM
AO+BO=BQ+BO=OQ=4
根据勾股定理，
AB²=√(AM²+BM²)=√2AM
C(△AOB)
=AO+OB+AB
=4+√2AM
当AM最小时，△AOB的周长最小，
当AM⊥OP时，AM为最小值，即是，A是OP的中点时。
AM(mix)=OQ/2=2
∴C(△AOB)(mix)=4+2√2。

Answer 2

连接OM，
M是PQ的中点，
OP=OQ，且∠POQ=90º
∴OM=MQ，且OM⊥PQ
∴∠Q=∠ACM=45º
又，∠AMO+∠BMO=90º
∠QMB+∠BMO=90º
∴∠AMO=∠QMB
∴△AOM≌△BQM
∴AO=BQ，AM=BM
AO+BO=BQ+BO=OQ=4
AB²=√(AM²+BM²)=√2AM
C(△AOB)
=AO+OB+AB
=4+√2AM
当AM最小时，△AOB的周长最小，
当AM⊥OP时，AM为最小值，即是，A是OP的中点时。
AM(mix)=OQ/2=2
∴C(△AOB)(mix)=4+2√2。

Answer 3

法1
显然OAMB四点共圆，圆心为线段AB中点，设其半径为r
令角OAB=a,易知角OMB=a，角PMA=a，角AMO=π/2-a，0<a<π/2
在三角形OAM中，由正弦定理知OA/sin(π/2-a)=OM/sin(π/4+a)
在三角形OAB中，易知OA=2rcosa，OB=2rsina
化简可得2r=2√2/sin(π/4+a)=4/cosa+sina
则Coab=2r(1+cosa+sina)=4+4/(cosa+sina)>=4+4/√2(cosa*2+sina*2)=4+2√2 取等条件为cosa=sina=√2/2，即a=π/4，此时角PAM=角P，AM垂直于OP，MB垂直于OQ
即Coab min=4+2√2

这是高中的题么，利用高中的解三角形 重要不等式 三角函数可以较方便的解答

利用初中几何知识全等也可解答，过程如下
法2
连接OM，有OM=MQ，角AOM=角Q=45度，角AMO=90度-角AMO=角BMQ
则三角形OAM全等于三角形QBM，设OA=x 0<x<4
则OB=4-x，AB=√x*2+(4-x)*2
即Coab=x+4-x+√x*2+(4-x)*2=4+√x*2+(4-x)*2=4+√2x*2-8x+16=4+√2(x*2-4x+4)+8=4+√2(x-2)*2+8 当x=2即OA=2时Coab=4+√8=4+2√2