Question

高二数学题 关于线面角

角ACB=90°,平面ABC外有一点P，PC=4,PF,PE垂直于BC,AC于F,E且PF=PE=2根号3，求PC与平面ABC.所成角的大小

Answer 1

如图所示：作PK⊥平面ABC垂足为K，联结FK、EK

因为PF⊥BC，PK⊥平面ABC，所以BC⊥KF

同理：AC⊥EK，由于PF=PE，所以得KF=KE

所以△KCF≌△KCE，∠KCF=∠KCE=45

又PC=4，PF=PE=2根号3，所以CE=CF=2=KF=KE，CK=2根号2

PC与平面ABC.所成角∠PCK的余弦值：

 cos ∠PCK=2根号2/4=根号2/2

∠PCK=45

即：PC与平面ABC.所成角的大小为45

Answer 2

解：连接EF
∵PF⊥AC
∴在RT△PFC，PC²=PF²+CF²
∵PF=PE=2根号3，PC=4
∴CF=2
同理，CE=2
取EF的中点G，连接PG和CG
∵在△PEF中，PF=PE
∴PG⊥EF
∵在RT△CEF中，CE=CF=2
∴CG⊥EF，CG=EG=1/2EF=根号2
∴PG=根号10
过P点作PH⊥CG交CG的延长于H
∵PG⊥EF，CG⊥EF
∴EF⊥平面PGC
∴EF⊥PH
∴PH⊥平面ABC
∴角PCH即角PCG是PC与平面ABC的夹角
∴在△PCG中，PG²=CG²+PC²-2CG*PCcos∠PCG
∴cos∠PCG=（CG²+PC²-PG²）/（2CG*PC）=根号2/2
∴∠PCG=45°，即PC与平面ABC.所成角为45°