Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，BE平分∠ABC,交AC于点E，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE=2CD

要步骤

Answer 1

证明：延长BA、CD交于点F
∠BAC=90，所以∠ABE+∠AEB=90
BD⊥CD，所以∠ACF+∠CED=90
因为∠AEB=∠CED，所以∠ABE=∠ACF
在△ABE和△ACF中
AB=AC，∠ABE=∠ACF，∠BAE=∠CAF=90
所以△ABE≌△ACF。BE=CF
BD平分∠CBF，所以BD是△CBF角平分线
BD⊥CF，所以BD也是△CBF底边上的高
因此△CBF为等腰三角形，BD同时是CF上中线，D为CF中点
因此BD=CF=2CD

Answer 2

对于△ABE和△CDE有∠BAC=∠BDC=90°；∠AEB=∠CED即△ABE∽△CDE,BE/AB=CE/CD;∠ABD=∠ACD=∠CBD即△CDE∽△BCD得出CD/CE=BD/BC；BE平分∠ABC根据角平分线理论有；AB/BC=AE/CE,BC=√2AB；结合便可得出BE=2CD