Question

数列｛an}中，a1=1，Sn是前n项和，当n>=2时，Sn^2=an(Sn-1/2)。证明｛1/Sn}是等差数

（1）证明｛1/Sn}是等差数。
（2）设bn=Sn/2n+1，求｛bn}的前n项和Tn。

第一问已OK。(1/Sn)-(1/Sn-1)=2.
现在第二问怎么做。

Answer 1

由Sn^2
=an(Sn-1/2)
=[Sn-S(n-1)](Sn-1/2)
=Sn^2-[1/2+S(n-1)]Sn+1/2*S(n-1)
化简为[1/2+S(n-1)]Sn=1/2*S(n-1)
两边同除Sn*S(n-1)/2化为
1/S(n-1)+2=1/Sn
则数列{1/Sn}是首项为1/a1=1,公差为2的等差数列
所以1/Sn=1+(n-1)*2=2n-1
则Sn=1/(2n-1)

bn=Sn/(2n+1)
=1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
则Tn=1/2*[1/1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-1)-(2n+1)]
=1/2*[1-(2n+1)]
=n/(2n+1)

Answer 2

1/Sn是等差数列,且(1/Sn)-(1/Sn-1)=2.
1/Sn=2n-1
Sn=1/（2n-1）
所以bn=1/（2n-1)2n +1
bn=1/(2n-1) - 1/2n
容易取得Tn