Question

在数列an中，Sn是数列an前n项和，a1=1,当n≥2时，sn^2=an(Sn-1/2) （1）证明1/Sn为等差数列，并求an

（2）设bn=Sn/2n+1，求数列bn的前n项和Tn
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n属于N*，都有Tn＜1/4（m-8）成立？若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由

Answer 1

(Sn)²=[Sn-S(n-1)](Sn-1/2)
(Sn)²=(Sn)²-Sn/2-SnS(n-1)+S(n-1)/2
Sn+2SnS(n-1)-S(n-1)=0
S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
两边除以SnS(n-1)
1/Sn-1/S(n-1)=2
1/Sn等差，d=2
S1=a1=1
1/Sn=1/S1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)

bn=1//[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*2[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*[(2n+1)-(2n+1)]/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2*{(2n+1)/[(2n-1)(2n+1)]-(2n+1)/[(2n-1)(2n+1)]}
=1/2*[1/[(2n-1)-1/(2n+1)]
所以Tn=1/2*(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/[(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*(1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)

Tn=1/(2+1/n) 随n增加而递增。
1/3=T1<=Tn<T无穷＝0.5
Tn最小值是T1=1/3
因此取m=9 有Tn>1/4(9-8)=1/4恒成立。因此m是存在的。
解：1/4(m-8)　<1/3得：m<8+4/3
所以自然数m最大值是9