Question

设函数f(x)在[0,1]是单调递减函数,试证对任何0<a<1,有∫[a,0] f(x)dx>=a *∫[1,0]f(x)dx

试了很多次积分中值定理，就是没做出来————

Answer 1

设F(a)=∫(0,a)f(x)dx/a
则：
F‘(a)=[af(a)-∫(0,a)f(x)dx]/a^2
=∫(0,a)(f(a)-f(x))dx/a^2
因为x《a,f(x)在[0,1]是单调递减,故f(a)-f(x)<0,
F‘(a)<0，函数F(a)=∫(0,a)f(x)dx/a在[0,1]单调增加。
当0<a<1时，有F(a)《F(1)=∫(0,1)f(x)dx

即：∫(0,a)f(x)dx《a∫(0,1)f(x)dx

追问

不好意思
第一：af(a) 不等于∫(a,0)f(a)dx
因为微分中值定理∫(b,a)f(x)dx =f(c)*(b-a), a==a *∫[1,0]f(x)dx ，不是小于。
麻烦是不是再考虑下，谢谢了

追答

哦：
一、∫(a,0)f(a)dx ，f(a)对于x积分来讲，是常数，f(a)可以提出来的，这里没错

二、后面是写错，
因为x《a,f(x)在[0,1]是单调递减,故f(a)-f(x)<0,
F‘(a)<0，函数F(a)=∫(0,a)f(x)dx/a在[0,1]单调减少。

三、写错
当0<a<1时，有F(a)》F(1)=∫(0,1)f(x)dx