设f(x)在[0,1]上可微,且f(1)=2∫0~1/2 xf(x)dx,证明存在ξ属于(0,1),使f(ξ)+ξf'(ξ)=1
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证明：由积分中值定理，存在η∈(0,1/2)使
2∫[0→1/2] xf(x) dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x)，则g(η)=ηf(η)=f(1)，g(1)=f(1)
因此g(x)在[η，1]内满足罗尔中值定理条件，
即存在ξ∈(η，1)，使g'(ξ)=0，且g'(x)=f(x)+xf '(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf '(ξ)=0。证毕
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2∫[0→1/2] xf(x) dx=2*ηf(η)*(1/2)=ηf(η)=f(1)
令g(x)=xf(x)，则g(η)=ηf(η)=f(1)，g(1)=f(1)
因此g(x)在[η，1]内满足罗尔中值定理条件，
即存在ξ∈(η，1)，使g'(ξ)=0，且g'(x)=f(x)+xf '(x)
因此：g'(ξ)=0即：f(ξ)+ξf '(ξ)=0。证毕
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