Question

设φ(x)为可微函数y=f(x)的反函数,且f(1)=0,证明：∫(0→1)[∫(0→f(x))φ

设φ(x)为可微函数y=f(x)的反函数,且f(1)=0,证明：∫(0→1)[∫(0→f(x))φ(t)dt]dx=2∫xf(x)dx

Answer 1

右边应该少了一个0→1

追问

对对

Answer 2

这里验证一下倒数第三行的正确性。
等式两边约分，得：∫(0,1)[∫(x,1)f(s)ds]dx=∫(0,1)[∫(0,s)f(s)dx]ds
左式=∫(0,1)[F(x)-F(1)]dx
右式=∫(0,1)[-sf(s)]ds=-sF(s)|(0,1)+∫(0,1)F(s)ds=∫(0,1)[F(s)-F(1)]ds
由于参数是可以替换的，所以左式=右式
补充：
各变量变动域：x:0→1、t:0→f(x)、s=φ(t):φ(0)→φ(f(x))即1→x
其中s变动域可由反函数性质和题目条件得出