Question

如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点，CE＝CA，F是AE的中点． 求证：BF⊥FD

Answer 1

证明：延长DF与CE的延长线相交于点G
因为四边形ABCD是矩形
所以CA=BD
AD=BC
AD平行BC
所以角FAD=角FEG
角FDA=角G
因为F是AE的中点
所以AF=EF
所以三角形AFD和三角形EFG全等（AAS)
所以DF=GF
AD=GE
因为BG=GE+BE=AD+BE
因为CE=BC+BE=AD+BE
所以BG=CE
因为CA=CE=BD
所以BG=DF
所以三角形BDG是等腰三角形
因为DF=GF
所以BF是等腰三角形BDG的中线
所以BF是等腰三角形BDG的垂线(等腰三角形三线合一）
所以BF垂直FD

Answer 2

连CF
在Rt△ABE中,斜边上的中线为斜边的一半 ∴AF=EF=BF
∵AF=BF ∴∠FAB=∠FBA
∴∠FAD=∠FBC (加等角）
∴△FAD≌△FBC (SAS)
∴∠AFD=∠BFC
∴∠AFD+∠DFC=∠BFC+∠DFC
即 ∠AFC=∠BFD
而CE=CA，F是AE的中点,即CF为等腰△CAE底边上的中线，它同时也是底AE上的高，即CF⊥AE
∴∠BFD=∠AFC=90°
∴BF⊥FD

Answer 3

等腰三角形的底边中点就垂足点