Question

如图,在△ABC总，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD交EF于点O.求证:AD平分EF.

Answer 1

∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠AED=∠AFD=90°
∵AD=AD
∴⊿AED≌⊿AFD﹙AAS﹚
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF
∴OE=OF(等腰三角形三线合一）
即AD平分EF

Answer 2

AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等)
AD =AD
△ADE≌△ADF(HL)
∴AE=AF
∠EAO=∠FAO(角平分线定义)
AO=AO
△AOE≌△AOF
OE =OF
∴AD平分EF.

Answer 3

∵∠BAD=∠CAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，DE=DF，
∴点A、D在EF的垂直平分线上，
即AD平分EF

Answer 4

证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
所以DE=DF，AD平分∠EDF（定理）
所以∠ADE=∠ADF
所以由AD=AD，∠ADE=∠ADF，DE=DF，构成△DEO全等于△DOF
所以EO=OF，即O是EF的中点
所以AD平分EF