Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x），

对于任意的正数m，n，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0.

（1）.计算f（1）
（2）证明，f（x）在（0，+∞）上是减函数。

Answer 1

解：这是一个比较简单的抽象函数题
（1）对于任意的正数m，n，都有f（mn）=f（m）+f（n）成立
那么令m=n=1，得f(1)=f(1)+f(1) 解得：f(1)=0
（2）任取x1,x2∈（0，+∞），且x1>x2，则x1/x2>1，f（x1/x2）<0
则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0，即f(x1)<f(x2)
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数。
得证！

Answer 2

(1)
令m=n=1
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
(2)
对任意的x1,x2∈(1,+∞)
且x1>x2>1
f(x1)=f(x1/x2)*x2=f(x1/x2)+f(x2)
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
因为x1>x2>1
所以x1/x2>1
f(x1/x2)<0
f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以函数 f(x)在（0，+∞）上单调减

追问

f(x1)=f(x1/x2)*x2=f(x1/x2)+f(x2) 麻烦把这句话用中文说一下，符号和字母太多了，分不清楚乘号和X

追答

f(x1)=f【(x1/x2)*x2】=f(x1/x2)+f(x2) 麻烦把这句话用中文说一下，符号和字母太多了，分不清楚乘号和X把f(x1)中的x1强制地拆成两个数的积，变成了f(变是*变量)的形式

Answer 3

令m=n=1,由f（mn）=f（m）+f（n）得f（1*1）=f（1）+f（1），即f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0.
令m,n>1，则mn>m,mn>n,由f（mn）=f（m）+f（n），f（x）＜0得，f（mn）<f（m）,f（mn）<f(n),即为减函数

Answer 4

(1) f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1) f(1)=2f(1) 2f(1)-f(1)=0 f(1)=0
(2) 设0<1<x f(x)=f(1*x)=f(1)+f(x) f(1)-f(x)=f(1)-(f(1)+f(x))=-f(x) ∵x＞1时，f（x）＜0.
∴ -f(x)>0 即f(1)-f(x)>0 f(1)>f(x) 故f（x）在（0，+∞）上是减函数。

Answer 5

1、令m＝n＝1得f(1)＝2f(1)，于是f(1)＝0。
2、对任意的y>x>0，f(y)＝f(x*y/x)＝f(x)+f(y/x)<f(x)。
不等号成立是因为y/x>1，由条件f(y/x)<0。