Question

已知定义在（0，+∞）的函数f（x）满足：

（1）对任意的x,y∈（0，+∞），都有f(xy)＝f(x)+f(y);
(2) 当x＞1时,f(x)＞0.
求证：（1）f(1)＝0
（2）对于任意的x∈（0，+∞），都有f（1/x）＝-f(x)
（3）f(x)在（0，+∞）上是增函数

Answer 1

1、令x=y=1 f(xy)=f(1)=f(1)+f(1) 所以f(1)＝0
2、f(1/x^2)=f(1/x)+f(1/x)=2f(1/x)
令y=1/x^2 f(xy)=f(1/x)=f(x)+f(1/x^2)=f(x)+2f(1/x)
所以f（1/x）＝-f(x)
3、0<x1<x2
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)
x2/x1>1
f(x2/x1)>0
所以为增函数

Answer 2

f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1), f(1)=0
f(1/x)+f(x)=f(x*(1/x))=f(1)=0, f(1/x)=-f(x)
设a>1 因为x>0 f(x)>0 所以ax>x f(ax)=f(a)+f(x)>f(x) 所以是增