Question

已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x)

已知函数f(x)=x^2+1且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x).试问是否存在实数a使得G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数?

Answer 1

由f（x）求g（x），再求G（x）解析式，求G（x1）-G（x2）的表达式，最后要变形为因式相乘的形式；根据单调性得出这个式子的正负，从而得出a的范围，由两个范围取交集可得a的值．
解：g（x）=f[f（x）]=f（x2+1）=（x2+1）2+1=x4+2x2+2．
G（x）=g（x）-af（x）=x4+2x2+2-ax2-a=x4+（2-a）x2+（2-a），G（x1）-G（x2）=[x14+（2-a）x12+（2-a）]-[x24+（2-a）x22+（2-a）]=（x1+x2）（x1-x2）[x12+x22+（2-a）]
由题设当x1＜x2＜-1时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-a）＞1+1+2-a=4-a，
则4-a≥0，a≤4当-1＜x1＜x2＜0时，（x1+x2）（x1-x2）＞0，x12+x22+（2-a）＜1+1+2-a=4-a，
则4-a≥0，a≥4故a=4．