Question

已知函数f（x）=㏑x-x+1.（1）求函数f（x）的单调区间和最值

（2）已知不等式3㏑（x+1）＜3x对一切x＞-1恒成立，求m的取值范围
额 是3㏑（x+1）＜3x+m

Answer 1

解：（1）f(x)=lnx-x+1 x＞0
∴f'(x)=1/x-1=(1-x)/x
∴当0＜x＜1时 函数f(x)为单调增函数
当x＞1时 函数为单调递减函数
∴函数f(x)的最值在x=1取得
f(1)=0
∴函数f(x)的最大值为0.
(2)3㏑（x+1）＜3x+m
∴m＞3(ln(x+1)-x)=3(ln(x+1)-(x+1)+1)
根据第一问函数f(x)=lnx-x+1的单调性
∴ln(x+1)-(x+1)+1当x＞0时 单调递减
当-1＜x＜0时 单调递增
∴x=0时函数取最大值0
∴m＞0.
因此m的取值范围为m＞0.

Answer 2

已知函数f(x)=㏑x-x+1；(1)求函数f（x）的单调区间和最值；(2)已知不等式3㏑(x+1)＜3x+m
对一切x＞-1恒成立，求m的取值范围.
解：(1)f(x)=lnx-x+1的定义域为x>0；
f′(x)=(1/x)-1=(1-x)/x=-(x-1)/x；当0<x≦1时f′(x)>0，故在区间(0，1]内f(x)单调增；当x≧1时
f′(x)≦0，故在区间[1，+∞)内单调减。当x=1时f′(1)=0，当x从1的左侧运动到1的右侧时f′(x)
由正变负，故x=1是极大点，maxf(x)=f(1)=0.
(2).设f(x)=3ln(x+1)，则f′(x)=3/(x+1)>0对一切x>-1恒成立，即f(x)在x>-1时是增函数，且f′(0)=3；
再设g(x)=3x+m，g′(x)=3，这是一条斜率k=3，且在y轴上的截距为m的直线；要使不等式：
3㏑(x+1)＜3x+m对一切x＞-1恒成立，只需m>0.这也就是m的取值范围。

Answer 3

定义域 x>0
1. f'(x)=1/x-1=(1-x)/x
(1-x)/x>0 x(1-x)>0 x(x-1)<0 0<x<1 增区间（0,1）
(1-x)/x<0 x>1 减区间（1，+无穷）
x=1 最大值=0
2.

Answer 4

不想回答，不想死脑细胞。