Question

求证函数f(x)=-x²+x在（-∞，1/2）上是单调增函数

Answer 1

设x1<x2<1/2,则
f(x1)-f(x2)
=-x1²+x1-(-x2²+x2)
=x2²-x1²-(x2-x1)
=(x2-x1)(x2+x1-1)
∵x1<x2<1/2
∴x2-x1>0,x2+x1-1<0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)=-x²+x在（-∞，1/2）上是单调增函数

Answer 2

方法一：定义法
任取x1<x2<1/2, 则
f(x1)-f(x2)=(-x1²+x1)-(-x2²+x2)=(x2²-x1²)+(x1-x2)=(x1+x2)(x2-x1)+(x1-x2)=(x2-x1)(x1+x2-1)
∵x1<x2<1/2
∴x2-x1>0, x1+x2-1<0
∴f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
∴f(x)=-x²+x在(-∞, 1/2)上是单调增函数

方法二：导数法
f'(x)=-2x+1
当x<1/2时，f'(x)=-2x+1>0
∴f(x)=-x²+x在(-∞, 1/2)上是单调增函数

Answer 3

f '(x)=-2x+1,在（-∞，1/2）上f '(x)>0,所以f(x) 在（-∞，1/2）上是单调增函数