Question

如图，AB,AC为圆O的两条弦N为AC弧的中点，M为AB弧上一点，MN分别交AB,AC于点D,E，且AD=AE，

求证：M为AB弧的中点。

Answer 1

 

证明：（如图）

连接ON、OM

∵N为AC弧中点

∴ON⊥AC（平分弧所对的一条弧的直径，垂直平分弦）

∴∠1、∠2互余

∵AD＝AE（已知）  ∴∠3＝∠4（三角形中等边对等角）

而∠5＝∠4，∠2＝∠3

∴∠5＝∠2

又∠6＝∠1

∴∠5＋∠6＝∠1＋∠2＝90度（互余）

所以 M点平分AB弧（垂直于弦的直径（半径）平分这条弦，并且平分弦所对的弧）

即 M为AB弧的中点。（证毕）