Question

椭圆x²／9﹢y²=1,直线与椭圆交于A,B，以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ ABC面积最大值。

Answer 1

解: <1> 可知椭圆右顶点为 C:(3,0)

设A(x1,y1);B(x2,y2) ,直线AC : x = my+3(m∈R+) （不设 y =k(x-3)! 此时，直线斜率为1/m)代入椭圆方程
(my+3)^2+9y^2-9=0; (9+m^2)y^2+6my=0
可知 y1 = -6m/(9+m^2)
直线 BC, x= -1/mx+3 代入
同理 y2 = -6*(-1/m)/[(-1/m)^2+9] = 6m/(1+9m^2)

于是，K = △ ABC面积 = AC*AB/2 = (|y1|*√(1+m^2))*(|y2|*√(1+1/m^2))/2
= 18m(1+m^2)/(9m^4+82m^2+9)

这里技巧性很强，分子分母同时除以 m^2

K = 18(m+1/m)/[(9m^2+9/m^2+82)]= 18(m+1/m)/[9(m+1/m)^2+64]
令 s = m+1/m ∈[2,+∞)
K= 18s/(9s^2+64) = 36/(9s+64/s) ≤ 18/[2*√ (9s*64/s)]=18/(2*3*8) = 3/8

当且仅当 (m+1/m)=8/3 时候 成立
有什么不懂得可以问我

Answer 2

解: <1> 可知椭圆右顶点为 C:(3,0)

设A(x1,y1);B(x2,y2) ,直线AC : x = my+3(m∈R+) （不设 y =k(x-3)! 此时，直线斜率为1/m)代入椭圆方程
(my+3)^2+9y^2-9=0; (9+m^2)y^2+6my=0
可知 y1 = -6m/(9+m^2)
直线 BC, x= -1/mx+3 代入
同理 y2 = -6*(-1/m)/[(-1/m)^2+9] = 6m/(1+9m^2)

于是，K = △ ABC面积 = AC*AB/2 = (|y1|*√(1+m^2))*(|y2|*√(1+1/m^2))/2
= 18m(1+m^2)/(9m^4+82m^2+9)

这里技巧性很强，分子分母同时除以 m^2

K = 18(m+1/m)/[(9m^2+9/m^2+82)]= 18(m+1/m)/[9(m+1/m)^2+64]
令 s = m+1/m ∈[2,+∞)
K= 18s/(9s^2+64) = 36/(9s+64/s) ≤ 18/[2*√ (9s*64/s)]=18/(2*3*8) = 3/8

当且仅当 (m+1/m)=8/3 时候 成立

Answer 3

参考答案：