Question

设函数f(x)=x^2-2Inx.(1)求f(x)的单调区间；（2）求f（x)在[1/e,e]上的最大值和最小值

（3）若关于x的方程f(x)=X^2-x-a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实数，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(1).f'(x)=2x-2/x.(x>0)
令f'(x)>0
即2x-2/x>0
解得：x>1;-1<x<0(舍去)
令f'(x)<0
即2x-2/x<0
解得：0<x<1;x<-1(舍去)
所以f(x)单调递增区间：[1,+∞）
f(x)单调递减区间：（0，1）
(2).由(1)知：f(x)单调递增区间：[1,+∞）
f(x)单调递减区间：（0，1）
所以，在[1/e,e]上的最小值fmin(x)=f(1)=-1
f(1/e)=1/e²-2*(-1)=2+1/e²
f(e)=e²-2>2+1/e²
所以fmax(x)=f(e)=e²-2
(3).f(x)=X^2-x-a
即：x²-2lnx=X^2-x-a
2lnx=x+a
令g(x)=2lnx-x
g'(x)=2/x-1
令g'(x)>0，得：0<x<2
令g'(x)<0，得：x>2,x<0(舍去)
所以，g(x)在(0,2)上递增
在[2,+∞)上递减
因为f(x)=X^2-x-a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实数
所以，g(x)=a在[1,3]上有两个相异的实数根
g(1)=-1,g(3)=2ln3-3≈-0.8,g(2)=2ln2-2≈-0.6
所以-0.8≤a<-0.6

Answer 2

1)定义域为x>0
f'(x)=2x-2/x=2/x*(x^2-1)=0,得极值点x=1
0<x<1时，f'(x)<0, 函数单调减
x>1时，f'(x)>0,函数单调增
2）由(1)， f(1)=1为极小值，也为最小值
最大值在端点取得，由f(1/e)=1/e^2+2, f(e)=e^2-2, f(1/e)<f(e), 所以最大值为f(e)=e^2-2
3)若f(x)=x^2-x-a在[1,3]有两个相异实根，则对称轴必在[1,3]内
但f(x)的对称轴为x=1/2，并不在区间内。
所以不存在这样的a.

Answer 3

(1)f′(x)=2x-(2/x)=(2x²-2)/x=2(x²-1)/x=1(x+1)(x-1)/x
当x≦-1或0<x≦1时f′(x)≦0，故在区间(-∞，-1]∪(0，1]内单调减；当-1≦x<0或1≦x<+∞
时f′(x)≧0，故在区间[-1，0)∪[1，+∞)内单调增。
(3) f(x)=x²-x-a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实数根，故其判别式△=1+4a≧0，即有
a≧-1/4；及f(1)=1-1-a≧0，即有a≦0；f(3)=9-3-a=6-a≧0，即有a≦6；
{a︱a≧-1/4}∩{a︱a≦0}∩{a︱a≦6}={a︱-1/4≦a≦0},这就是a的取值范围。

Answer 4

因为f(x)的导数为2x-2/x.所以当x>1,导数大于0.0<x<1,导数小于0，所以单调递增区间为(1,无穷），，递减区间为(0,1].最小值在导数为0处取得。x=1,导数为0，所以f(1)=1.f(1/e)=2+1/e^2,f(e)=2+e^2.所以最小值为1，最大值为2+e^2.
你的第三问有问题：因为对称轴为x=1/2,而在对称轴一边最多有一个实根。所以在[1,3]上不可能有两个相异的实数(根)

Answer 5

（1）（0，1）单调减，x>1单调增
（2）max=f(e)=e^2-2, min=f(1)=1
(3)-1/4<a<0

Answer 6

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