Question

三角形ABC中,角所对应的边分别为a、b、c,若(a+b+c)乘以(sinA-sinB+sinC)=3asinC则角B=?要具体过程,谢谢!

Answer 1

解：利用正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，将原式转换为：
sinA^2-sinA*sinC+sinC^2=sinB^2
同理再利用正弦定理有扩展式asinB=bsinA bsinC=csinB asinC=csinA得到（2cosB-1)*ac*(sinB/b)^2=0
得2cosB-1=0
所以有cosB=1/2
B=60度

Answer 2

(a+b+c)×(sinA-sinB+sinC)=3asinC

根据正弦定理可得
sinA=0.5a/R,sinB=0.5b/R,sinC=0.5c/R
∴(a+b+c)×(sinA-sinB+sinC)=3asinC可化为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝3ac

∴a²＋c²＋2ac－b²＝3ac

∴a²＋c²-ac=b²

由余弦定理可得
b²=a²＋c²-2accosB=a²＋c²-ac

∴cosB=1/2
∴∠B=60°

Answer 3

∵（a＋b＋c）（sinA－sinB＋sinC）＝3asinC，
∴结合正弦定理，有：（a＋b＋c）（a－b＋c）＝3ac，
∴［（a＋c）＋b］［（a＋c）－b］＝3ac，∴（a＋c）^2－b^2＝3ac，
∴a^2＋c^2＋2ac－b^2＝3ac，∴a^2＋c^2－b^2＝ac，∴（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝1/2。
由余弦定理，有：cosB＝（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝1/2，∴B＝60°。