Question

证明:若数列an无界，但不趋于无穷，则an存在两个分别趋于无穷和收敛的子列

Answer 1

如下：

证明：①由无界性，存在|al1|＞|a1|+1，取ak1满足|ak1|=max{|a1|，···，|al1|}。再由无界性，存在|al2|＞|ak1|+1，取ak2满足|ak2|=max{|a1|，···|al2|}。一般的有|akn|=max{|a1|，···|aln|}。由akn的取法可知kn+1＞kn，且有|akn|＞|a1|+n-1。以上二条件易证akn趋于无穷。

②an不趋于无穷，则存在A＞0，任意N∈N+，存在m1＞N，有|am1|＜A，此时，对于m1，又存在m2＞m1，有|am2|＜a，如此进行得到数列amn，满足任意n∈N+,|amn|＜A，amn有界。有定理：有界序列有收敛的子列。故amn有收敛的子列，同时也是an收敛的子列。 证毕。

说明：取最大值那一步是为了保证kn+1＞kn，从而保证akn是an的子列。

数列分类：

（1）有穷数列和无穷数列：

项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）；项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。

（2）对于正项数列：（数列的各项都是正数的为正项数列）

1）从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7。

2）从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1。

3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列（摇摆数列）。

（3）周期数列：各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）。

（4）常数数列：各项相等的数列叫做常数数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

Answer 2

证明：①由无界性，存在|al1|＞|a1|+1，取ak1满足|ak1|=max{|a1|，···，|al1|}。再由无界性，存在|al2|＞|ak1|+1，取ak2满足|ak2|=max{|a1|，···|al2|}。一般的有|akn|=max{|a1|，···|aln|}。由akn的取法可知kn+1＞kn，且有|akn|＞|a1|+n-1。以上二条件易证akn趋于无穷。
②an不趋于无穷，则存在A＞0，任意N∈N+，存在m1＞N，有|am1|＜A，此时，对于m1，又存在m2＞m1，有|am2|＜a，如此进行得到数列amn，满足任意n∈N+,|amn|＜A，amn有界。有定理：有界序列有收敛的子列。故amn有收敛的子列，同时也是an收敛的子列。 证毕
说明：取最大值那一步是为了保证kn+1＞kn，从而保证akn是an的子列