Question

已知f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1

（1）求f(1),f(4),f(8)的值
（2）求证f(x)=f(x/y)+f(y)恒成立，并求f(1/2),f(1/4)的值

Answer 1

(1)设X=Y=1 则有 F(1)=F(1)+F(1) ==>F(1)=0
X=Y=2 则有 F(4)=F(2)+F(2)=1+1=2
X=2 Y=4 则有 F(8)=F(2)+F(4)=1+2=3
(2)设Y=1/X则有 F(1)=F(X)+F(1/X)=0 ==>F(1/X)=-F(X) ==>F(1/Y)=-F(Y)
所以F(X/Y)+F(Y)=F(X)+F(1/Y)+F(Y)=F(X)-F(Y)+F(Y)=F(X)
证明成立
所以F(X/Y)=F(X)-F(Y)
所以F(1/2)=F(1)-F(2)=0-1=-1
F(1/4)=F(1)-F(4)=0-2=-2

Answer 2

令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1) 所以有f(1)=f(2)=1,令x=y=2,所以f(4)=f(2)+f(2)=2,令x=2 y=4 所以有
f(8)=f(2)+f(2x2)=3