Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(12)＝1，如果对于0＜x＜y，都有f

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），f(12)＝1，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．（1）求f（1）；（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

（1）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0（4分）
（2）由f（

1

2

）=1，f（1）=0，
结合题意，可得f(1)＝f(2)+f(

1

2

)?f(2)＝?1（6分）
f（4）=f（2）+f（2）=-2（8分）∴f（-x）+f（3-x）=f[x（x-3）]≥f（4）（10分）
又f（x）为（0，+∞）上的减函数
∴

?x＞0?x＜0 3?x＞0?x＜3 x(x?3)≤4??1≤x≤4

（14分）
解得-1≤x＜0
∴原不等式的解集为[-1，0）．（16分）