Question

已知数列{an}为等比数列，且a1=4,公比为q，前n项和为sn，若数列{sn+2}也是等比数列，则q=？ ,

Answer 1

当q=1时，有Sn=4n，易知4n+2不为等比数列。
当q≠1时，Sn=4(1-q^n)/(1-q)
因Sn+2为等比数列，于是有
(S1+2)(S3+2)=(S2+2)^2
也就是(4(1-q)/(1-q)+2)(4(1-q^3)/(1-q)+2)=(4(1-q^2)/(1-q)+2)^2
化简有：6(6+4q+4q^2)=(6+4q)^2等价于3(3+2q+2q^2)=(3+2q)^2
即9+6q+6q^2=9+12q+4q^2
即2q^2=6q，由于an为等比数列，所以q≠0
所以q=3

Answer 2

{sn+2}为等比，则必然有s1+2，s2+2，s3+2成等比
所以：(s2+2)²=(s1+2)(s3+2)
s2²+4s2=s1*s3+2s1+2s3 ①
a1=4，a2=4q，a3=4q²
所以，s1=4，s2=4+4q，s3=4+4q+4q²代入①式
得：16q²+32q+16q+16=16q²+16q+16+8+8+8q+8q²
8q²-24q+16=0
q²-3q+2=0
(q-1)(q-2)=0
q=1，或q=2
q=1时，sn=4n，sn+2=4n+2，显然不是等比数列，舍去
q=2时，验证后满足题意；
综上，q=2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！