Question

已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数。

已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数。

Answer 1

证明；
设x1<x2
F(x1)-F(x2)
=f(x1)-f(a-x1)-[f(x2)-f(a-x2)]
=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)
又，f(x)是定义在R上的增函数，
f(x1)＜f(x2)
即是，f(x1)-f(x2)＜0
x1<x2
∴a-x1>a-x2
f(a-x1)＞f(a-x2)
即是，f(a-x2)-f(a-x1)<0
∴f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)＜0
∴F(x1)-F(x2)＜0
因此，F(x)在定义R上是增函数。

Answer 2

设x1<x2,且{x1,x2}属于R，得：
F（x1)-F（x2）=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)+f(a-x2)
=[f(x1)-f(x2)]-[f(a-x1)-f(a-x2)]
又因为：f(X)在定义R上为增函数，且x1<x2
所以：f(x1)-f(x2)<0,且a-x1>a-x2
因为a-x1>a-x2
所以：f(a-x1)-f(a-x2)>0
所以：F(x1)-F(x2)<0(负数减正数）
所以：F(x)随着x的增大而增大，即F(x)在R上为增函数

Answer 3

设x<x' F(x)-F(x')=f(x)-f(a-x)-f(x') f(a-x')=[f(x)-f(x')]-[f(a-x)-f(a-x')]
因为f(x)为增函数 所以f(x)<f(x')
因为x<x' x-a<x'-a所以a-x>a-x'
所以 [f(a-x)-f(a-x')]>0
所以F(x)-F(x')<0
所以F(x)为增函数