Question

数学达人进

试讨论函数f(x)=x+a除以x（a 不等于0）在（0，＋∞）上的单调性
解：任取x1,x2∈(0,+∞)而且x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=x2+（a除以x2）－x1－（a除以x1）=(x2－x1)+[a*(x1－x2)]除以（x1*x2）= (x2－x1)*[1－a除以(x1x2)]= (x2－x1)*[(x1x2－a)除以（x1x2）],

若a<0,则由x2－x1>0, x1x2>0, x1x2－a>0知f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)> f(x1).由单调性定义可以知，f(x)在(0,+∞)上单调递增。

若a>0,则当0<x1<x2≤根号a时,会有x2－x1>0,x1x2>0,x1x2－a<0,因此f(x2)－f(x1)<0即f(x2)< f(x1);当x2>x1>根号a时，会有x2－x1>0, x1x2>0, x1x2－a>0,因此f(x2)－f(x1)>0, 即f(x2) > f(x1). 由单调性定义可以知f(x) 在(0, 根号a]上单调递减，在[根号a, ＋∞)单调递增。
综上可知，当a<0时，f(x)=x+（a除以x） 在(0,+∞) 单调递增。
当a>0时，f(x)=x+（a除以x）在(0, 根号a]上单调递减，在[根号a, ＋∞)单调递增
我不明白为什么 当a>0 ，0<x1<根号a<x2， 这种情况为什么不考虑

Answer 1

此亦为极点类问题。

解：f(x)=(x+a)/x,(a<>0)=1+a/x. 对f(x)求导数，f(x)'= - a/x^2, 令 f(x)'=0,得，x=+-无穷大。考虑当a>0的情况，当x为不等于+-无穷大的任意数时，导函数恒<0，原函数恒单调减 .而当 x 趋向+-无穷大时，导函数为0，原函数趋于不增不减。当a<0时反之。

由以上描述可画出大概图形为（a>0时），

Answer 2

不知道你有没有学过高中导数，如果学过这道题就很简单了，因为根号a处在一个极值点，就是这个点是单调性转换的一个点。
你看一下最后的结果应该就清楚了，当a>0 ，0<x1<根号a<x2， 这种情况应该是单调性不确定的，根据x1和x2距离x=根号a的距离而定，所以答案最后a>0时的单调性也是分区间描述的，

追问

还是不明白 那为什么不考虑呢

追答

要考虑到x>0时，这是个连续函数，图像可以用一条曲线画出来的。

你看最后答案给出的结论：当a>0时，f(x)=x+（a除以x）在(0, 根号a]上单调递减，在[根号a, ＋∞)单调递增，如果考虑当a>0 ，00，你想判断x1到x2之间的单调性，就要用到x=0这个点

Answer 3

太复杂

Answer 4

gps