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试讨论函数f(x)=x+a除以x(a不等于0)在(0,+∞)上的单调性解:任取x1,x2∈(0,+∞)而且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=x2+(a除以x2)-x1...
试讨论函数f(x)=x+a除以x(a 不等于0)在(0,+∞)上的单调性
解:任取x1,x2∈(0,+∞)而且x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=x2+(a除以x2)-x1-(a除以x1)=(x2-x1)+[a*(x1-x2)]除以(x1*x2)= (x2-x1)*[1-a除以(x1x2)]= (x2-x1)*[(x1x2-a)除以(x1x2)],
若a<0,则由x2-x1>0, x1x2>0, x1x2-a>0知f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)> f(x1).由单调性定义可以知,f(x)在(0,+∞)上单调递增。
若a>0,则当0<x1<x2≤根号a时,会有x2-x1>0,x1x2>0,x1x2-a<0,因此f(x2)-f(x1)<0即f(x2)< f(x1);当x2>x1>根号a时,会有x2-x1>0, x1x2>0, x1x2-a>0,因此f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2) > f(x1). 由单调性定义可以知f(x) 在(0, 根号a]上单调递减,在[根号a, +∞)单调递增。
综上可知,当a<0时,f(x)=x+(a除以x) 在(0,+∞) 单调递增。
当a>0时,f(x)=x+(a除以x)在(0, 根号a]上单调递减,在[根号a, +∞)单调递增
我不明白为什么 当a>0 ,0<x1<根号a<x2, 这种情况为什么不考虑 展开
解:任取x1,x2∈(0,+∞)而且x1<x2,则
f(x2)-f(x1)=x2+(a除以x2)-x1-(a除以x1)=(x2-x1)+[a*(x1-x2)]除以(x1*x2)= (x2-x1)*[1-a除以(x1x2)]= (x2-x1)*[(x1x2-a)除以(x1x2)],
若a<0,则由x2-x1>0, x1x2>0, x1x2-a>0知f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)> f(x1).由单调性定义可以知,f(x)在(0,+∞)上单调递增。
若a>0,则当0<x1<x2≤根号a时,会有x2-x1>0,x1x2>0,x1x2-a<0,因此f(x2)-f(x1)<0即f(x2)< f(x1);当x2>x1>根号a时,会有x2-x1>0, x1x2>0, x1x2-a>0,因此f(x2)-f(x1)>0, 即f(x2) > f(x1). 由单调性定义可以知f(x) 在(0, 根号a]上单调递减,在[根号a, +∞)单调递增。
综上可知,当a<0时,f(x)=x+(a除以x) 在(0,+∞) 单调递增。
当a>0时,f(x)=x+(a除以x)在(0, 根号a]上单调递减,在[根号a, +∞)单调递增
我不明白为什么 当a>0 ,0<x1<根号a<x2, 这种情况为什么不考虑 展开
4个回答
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不知道你有没有学过高中导数,如果学过这道题就很简单了,因为根号a处在一个极值点,就是这个点是单调性转换的一个点。
你看一下最后的结果应该就清楚了,当a>0 ,0<x1<根号a<x2, 这种情况应该是单调性不确定的,根据x1和x2距离x=根号a的距离而定,所以答案最后a>0时的单调性也是分区间描述的,
你看一下最后的结果应该就清楚了,当a>0 ,0<x1<根号a<x2, 这种情况应该是单调性不确定的,根据x1和x2距离x=根号a的距离而定,所以答案最后a>0时的单调性也是分区间描述的,
追问
还是不明白 那为什么不考虑呢
追答
要考虑到x>0时,这是个连续函数,图像可以用一条曲线画出来的。
你看最后答案给出的结论:当a>0时,f(x)=x+(a除以x)在(0, 根号a]上单调递减,在[根号a, +∞)单调递增,如果考虑当a>0 ,00,你想判断x1到x2之间的单调性,就要用到x=0这个点
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2012-09-23
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gps
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