Question

高二数学数列问题

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Answer 1

1.
a(n+1)=2an+3ⁿ
a(n+1)-3^(n+1)=2an+3ⁿ -3^(n+1)=2an+3ⁿ-3×3ⁿ=2an -2×3ⁿ=2(an -3ⁿ)
[a(n+1)-3^(n+1)]/(an-3ⁿ)=2，为定值。
a1 -3=1-3=-2
数列{an -3ⁿ}是以-2为首项，2为公比的等比数列。
an-3ⁿ=(-2)×2^(n-1)=-2ⁿ
an=3ⁿ-2ⁿ
n=1时，a1=3-2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3ⁿ-2ⁿ。
2.
a(n+1)=2an+n
a(n+1)+(n+1)+1=2an+n+(n+1)+1=2an+2n+2=2(an+n+1)
[a(n+1)+(n+1)+1]/(an+n+1)=2，为定值。
a1+1+1=1+1+1=3
数列{an +n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列。
an +n+1=3×2^(n-1)
an=3×2^(n-1) -n -1
n=1时，a1=3-1-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3×2^(n-1) -n -1
3.
a(n+1)=an/(1+2an)
1/a(n+1)=(1+2an)/an =1/an +2
1/a(n+1) -1/an=2，为定值。
1/a1=1/1=1
数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
1/an =1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
n=1时，a1=1/(2-1)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=1/(2n-1)。
4.
a(n+1)=2an/(1+2an)
1/a(n+1)=(1+2an)/(2an)=(1/2)(1/an) +1
1/a(n+1) -2=(1/2)(1/an) -1=(1/2)(1/an -2)
[1/a(n+1) -2]/(1/an -2)=1/2，为定值。
1/a1 -2=1/1-2=1-2=-1
数列{1/an -2}是以-1为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -2=(-1)×(1/2)^(n-1)=-1/2^(n-1)
1/an=2 -1/2^(n-1)=(2ⁿ -1)/2^(n-1)
an=2^(n-1)/(2ⁿ-1)
n=1时，a1=1/(2-1)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)/(2ⁿ-1)

Answer 2

我很佩服那些可以在电脑上把复杂公式打出来的人。