Question

已知函数f(x)=x²/(ax+b)(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根X1=3,X2=4,若1/f(x)+k-1>0恒成立

求k的范围

Answer 1

已知函数f(x)=x²/(ax+b),所以有f(3)=9/(3a+b),f(4)=16/(4a+b),
方程f(x)-x+12=0有两个实根X1=3,X2=4得
9/(3a+b)-3+12=0,16/(4a+b)-4+12=0
解方程组得a=-1,b=2
f(x)=x²/(ax+b)=x²/(2-x)
1/f(x)+k-1=(2-x)/x²+k-1=[(k-1)x²-x+2)]/x²={(k-1)[x-1/(2k-2)]²+2-1/(4k-4)}/x²
若1/f(x)+k-1>0恒成立有(k-1)[x-1/(2k-2)]²+2-1/(4k-4)>0恒成立,所以有
k-1>0和2-1/(4k-4)≧0
整理得k>1
k的范围为k>1

Answer 2

把两个根代进去，求出a,b。得到f(x)解析式。带入不等式求k的范围即可。程序化操作