Question

已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R)， 求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件

不要从百度上找，那个是错的！！！

Answer 1

f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R)
f ' (x)=（-2x+a-1）/x (a∈R)
令f ' (x)=（-2x+a-1）/x=0
即2x²-ax+1=0
要使函数f(x)既有极大值又有极小值，又函数定义域为R+,
△>0,且x1+x2>0.x1x2>0,即a²-8>0,a/4>0,解得，a>2√2,

追问

请问x1+x2>0.x1x2>0是什么意思？△>0后如何保证求得的两根是极值点？（比如y等于x的三次方这个函数在x等于0时导数为零，但它不是极值点）

追答

题中f ' (x)=（-2x+a-1）/x (a∈R)
令f ' (x)=（-2x+a-1）/x=0
应为f ' (x)=（-2x²+ax-1）/x (a∈R)
令f ' (x)=（-2x²+ax-1）/x=0
x1+x2>0.x1x2>0为了保证两根在定义域内，而此方程为二次方程由△>0后如何保证求得的两根是极值点。

Answer 2

f(x)=-x²+ax-Inx，定义域为：(0,+无穷)，
f'(x)=-2x+a-1/x=-(2x+1/x)+a，
令f'(x)=0，则：a=2x+1/x，
函数f(x)既有极大值又有极小值，则：
a=2x+1/x>2√2。
故所求充要条件为：a>2√2。