Question

已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x属于[0，1]时，f(x)=x，且在[-1，3]内，关于x的方程

已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x属于[0，1]时，f(x)=x，且在[-1，3]内，关于x的方程f(x)=kx+k+1(k属于R，k不等于-1)有4个根，则k的取值范围是？

Answer 1

∵f(x)是以2为周期的偶函数，所以f(x)关于y轴对称，且周期为2
当x属于[0,1]时，f（x）=x，则当x属于[-1,0]时，f（x）=-x
所以-1与1之间是一个周期
则[-1,0],f(x)=-x
[0,1],f(x)=x
[1,2],f(x)=-x+2
[2,3],f(x)=x-2

Answer 2

x在[0,1],f(x)=x
由于f(x)是偶函数，x在[-1,0],f(x)=-x

f(x)是周期为2的函数 f(2)=f(0)=0

函数解析式：y=-x+2

x在[2,3]时，函数解析式：y=x-2

g(x)仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点。

x在[-1,0) g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k
令g(x)=0 x=-k/(k+1)
-1≤-k/(k+1)<0
解得k>0

x在(0,1] g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k
令g(x)=0 x=k/(1-k)
0<k/(1-k)≤1
解的0<k≤1/2

x在(1,2] g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k
令g(x)=0 x=(2-k)/(k+1)
1<(2-k)/(k+1)≤2
解的0≤k<1/2
x在(2,3] g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k
令g(x)=0 x=(k+2)/(1-k)
2<(k+2)/(1-k)≤3
解的0<k≤1/4

综上，k的取值范围为：0<k≤1/4

Answer 3

x在[0,1],f(x)=x
由于f(x)是偶函数，x在[-1,0],f(x)=-x

f(x)是周期为2的函数 f(2)=f(0)=0

函数解析式：y=-x+2

x在[2,3]时，函数解析式：y=x-2

g(x)仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点。

x在[-1,0) g(x)=-x-kx-k=-(k+1)x-k
令g(x)=0 x=-k/(k+1)
-1≤-k/(k+1)<0
解得k>0

x在(0,1] g(x)=x-kx-k=(1-k)x-k
令g(x)=0 x=k/(1-k)
0<k/(1-k)≤1
解的0<k≤1/2

x在(1,2] g(x)=-x+2-kx-k=-(k+1)x+2-k
令g(x)=0 x=(2-k)/(k+1)
1<(2-k)/(k+1)≤2
解的0≤k<1/2
x在(2,3] g(x)=x-2-kx-k=(1-k)x-2-k
令g(x)=0 x=(k+2)/(1-k)
2<(k+2)/(1-k)≤3
解的0<k≤1/4

综上，k的取值范围为：0<k≤1/4