Question

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x)*f（y），且当x>0时，恒有f（x）>1.证明

1)求证f(0)=1，且当X小于0，f（x)大于1
2)证明F（x)在R上单调递减

Answer 1

　　这是一个一指数函数为原型的函数题目。故只需理解指数函数的性质就很好解决问题。
　　令x=y=0则：f（0+0）=f(0)=f(0)*f(0)所以f（0）=1.或者令x=0则 f(y) = f(0+y) = f(0) f(y)则f(0)=1
第一问的第二小问应该是X<0时f（x）1；
那么，因为当x>0时f（x）>1；所以令-x<0;
　　所以有；f(0)=f（x-x）=f（x）*f（-x）；所以f（x）*f（-x）=f（0）=1；所以f（-x）=1/f(x);因为f（x）>1;所以f（-x）<1/f（x)<1;故此得证；（为了读者容易看懂所以解题过于多得步骤，可以简化）
　　第二问应该是证明函数单调递增；
解：有第一问中知道f（-x）=1/f(x);
　　则令X1>X2;f(X1-X2)>=f（x1）*f(-x2）=f(x1)/f(x2)>1;f(x1)>f(x2);
故此可以证明原函数递增。

Answer 2

1）设x=0则 f(y) = f(0+y) = f(0) f(y)......f(0)=1
设y=-x则 f(0) = f(x-x) = f(-x)f(x) = 1
不妨设x>0,,,f(x)>1 则 f(-x) = 1 / f(x) < 1

是不是题错了，，，仔细看看！！！！！！！

2) 当x1<x2 则x1+h=x2 h>0 f(h)>1
f(x2)=f(x1+h)=f(x1)*f(h) > f(x1)

Answer 3

（1）设x=0，则有f（0+y）=f（0）*f（y）=f（y） 所以f（0）=1