Question

在平面直角坐标系中，椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2，

在平面直角坐标系中，椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切(1)求椭圆C的方程;

2 . 已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T,求证：点T在椭圆C上

Answer 1

原题好像是少了一个条件（a＞b＞0）要不然第二问证不出来的
1、有两点间距离公式得：b=2/√2=√2,
a2=b2+(√3/2*a)^2，解得a2=8
故椭圆C的方程x2/8+y2/2=1
2、设M(m,n),N(-m,n)
∵MN在椭圆上，∴ m2/8+n2/2=1,解得m^2=8-4*n^2
∵MN不重合，∴m≠0，即直线PM与QN斜率都存在
直线PM方程：y=（n-1）/m*x+1,
直线QN方程：y=（2-n）/m*x+2,
两方程联立求出T点坐标：解得x0=m/(2n-3)^2,y0=(3n-4)^2/(2n-3)^2
将T点坐标代入椭圆C方程中：
x0^2/8+y0^2/2=[m2+4(3n-4)^2]/8(2n-3)^2=[8-4n2+4(3n-4)^2]/8(2n-3)^2=1
符合椭圆C的方程，故点T在椭圆C上