Question

已知二次函数y=ax2+bx+c,且不等式ax2+bx+c>-2x的解为1≤x≤3

1、若方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根。有二次函数y=ax2+bx+c的解析式
2、若二次函数y=ax2+bx+c的最大值为正数，求a取值范围

Answer 1

不等式ax2+bx+c>-2x的解为1≤x≤3即
不等式a[x2+(b+2)x/a+c/a]>0的解为1≤x≤3
∴a<0,x²+(b+2)x/a+c/a=(x-1)(x-3)=x²-4x+3
∴(b+2)/a=-4,c/a=3
∴b=-4a-2,c=3a
(1)∵方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根
∴b²-4a(c+6a)=0
联合解方程组得
a=-1,b=2,c=-3
二次函数y=ax2+bx+c的解析式为-x²+2x-3
(2)ax²+bx+c=a[x+b/(2a)]²+c-b²/(4a)
二次函数y=ax2+bx+c的最大值为正数，有
a<0,c-b²/(4a)>0
把b=-4a-2，c=3a代入不等式解得
-2+√3<a<0，a<-2-√3

Answer 2

ax2+bx+c>-2x的解为1≤x≤3即
不等式a[x2+(b+2)x/a+c/a]>0的解为1≤x≤3
∴a<0,x²+(b+2)x/a+c/a=(x-1)(x-3)=x²-4x+3
∴(b+2)/a=-4,c/a=3
∴b=-4a-2,c=3a
(1)∵方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根
∴b²-4a(c+6a)=0

a=-1,b=2,c=-3
二次函数y=ax2+bx+c的解析式为-x²+2x-3
(2)ax²+bx+c=a[x+b/(2a)]²+c-b²/(4a)
二次函数y=ax2+bx+c的最大值为正数，有
a<0,c-b²/(4a)>0
把b=-4a-2，c=3a代入不等式解得
-2+√3<a<0，a<-2-√3

Answer 3

若二次函数有最大值，那么a<0,二次函数的最大值应该为-6a，要为正数则-6a>0;
综合以上两个条件，得到a<0