Question

已知函数y=-x平方+ax-a/4+1/2在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值

到网上查了一下，每个人的答案都不一样（汗。。。），正确答案到底是什么>_<（请写出详细的过程，谢谢哦）

Answer 1

函数的对称轴为x=a/2,分三种情况考虑，顶点（对称轴）在区间内，区间在对称轴左边，区间在对称轴右边
(1)顶点在[0，1]区间内，即对称轴x=a/2在[0，1]区间内，即0<=a/2<=1 , 即：0<=a<=2时，且x=a/2时y=2
f(a/2)=(a^2-a+2)/4 = 2 解出a=2 或者 a=-3 与0<=a<=2相矛盾，所以，这种情况不存在
(2)函数在对称轴左边是增函数，[0,1]在对称轴左边时，即x属于[0，1]小于对称轴，1<a/2 时，即a>2时，f(1)>f(0),f(1)是最大值2
f(1)=-1+a+1/2-a/4=(3a-2)/4 = 2 解得a=10/3 > 2,所以，a=10/3是成立的
(3)函数在对称轴右边是减函数，[0,1]在对称轴右边时，即x属于[0，1]大于对称轴，0>a/2 时，即a<0时，f(1)<f(0),f(0)是最大值2
f(0)=0+0+1/2-a/4=(2-a)/4 = 2 解得a=-6 < 0 ，也成立
综上，a=10/3 或 a=-6

Answer 2

这样解可能比较清晰：y=-x²+ax-a/4+1/2 在区间[0，1]上的最大值是2
设 y= -(x-k)²+2 显然当x=k时，y有最大值2 ∴k的取值区间为[0，1]
而y= -(x-k)²+2=-x²+2kx-k²+2=-x²+ax-a/4+1/2
∴2k=a 且 -k²+2=-a/4+1/2 解得k= -1 或k= 3/2 显然k= -1不在区间为[0，1]舍去
∴ k=3/2 此时 a=2k=3

Answer 3

具体解答过程如下：
解：函数的对称轴为x=a/2
当0《a/2《1时，即：0<a<2,f(x)在顶点处取得最大值2
所以有：f（a/2）=2，解得：a=-2，或a=3.都不满足a的取值（舍去）
当a》2时，f（x）在（0,1）上单调递增，在x=1处取得最大值2，此时有：
f（1）=2，解得：a=10/3，满足题意。
当a《0时，f（x）在（0,1）上单调减，此时在x=0处取得最大值2.
所以：f（0）=2，解得：a=-6，满足题意。
综上所述：a=10/3或a=-6，满足题意。
望采纳！！！

追问

虽然没有采纳你的，但还是谢谢了

追答

没事，小问题!

Answer 4

解：∵抛物线对称轴为：x=a/2
① 当0≤a/2≤1 即 0≤a≤2 时 f(a/2) = 2 即：a= - 2 或 a = 3 ， 且 都不满足（舍去）

② 当 a > 2 时，f(1) = 2，解得：a=10/3 满足。
③ 当 a < 0 时，f(0) = 2，解得：a= - 6 满足。
总之，a=10/3 或 a= - 6

Answer 5

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