Question

求f(x)= x2+2x+2/ x2+x+1 的值域(x2 为x的平方)要有过程

Answer 1

方法1
f(x)=( x2+2x+2)/ (x2+x+1)
=[(x²+x+1)+(x+1)]/(x²+x+1)
=1+(x+1)/(x²+x+1)
x=-1时，f(-1)=1
x≠-1时，设x+1=t,t≠0,x=t-1,
∴y=1+t/[(t-1)²+t]
=1+t/(t²-t+1)
=1+1/(t+1/t-1)
t>0时，t+1/t≥2 ,t+1/t-1≥1
0< 1/(t+1/t-1)≤1
∴1<y≤2
t<0时，-t-1/t≥2 ,t+1/t≤-2，t+1/t-1≤-3
-1/3≤1/(t+1/t-1)<0
∴2/3≤y≤1
综上，函数的值域为[2/3,2]

方法2
y(x²+x+1)=x²+2x+2
(y-1)x²+(y-2)x+y-2=0
使得方程有解的y值的集合即函数值域
y-1=0即y=1时，方程有解
y-1≠0时，方程是二次方程，有解的条件为
Δ=（y-2)²-4(y-1)(y-2)≥0
∴(y-2)(3y-2)≤0
解得2/3≤y≤2 ,y≠1
综上，函数的值域为[2/3,2]