Question

一道关于三角形重心的数学问题。

今天，看到一道关于三角形的重心的问题，想了很久，我居然忘记了重心分中线是2：1。于是把重心研究了一番，想到了一个问题，看有没有人想过这个问题。

记三角形的重心(三条中线的交点)为G，过点G作直线l，交ΔABC于P,Q两点，并将三角形分成两块，记面积较小的那一块面积为S1,面积较大的那一块面积为S2, ΔABC的面积为S，求S1:S的取值范围。要求给出详细过程。
还不能发图片?

Answer 1

这个问题挺有意思的，以前的数学竞赛有过类似背景的题目。

结论应该是[4/9,1/2], 最小值在PQ与某条边平行时取得，最大值在P、Q之一为某个顶点时取得。

先证最小、最大值分别是4/9,1/2吧，这个可以严格证明。

借用你的图，过G作AB平行线，分别交BC, CA于P0, Q0.
不妨设Q在A, Q0之间，只考虑Q从Q0变到A的过程即可。

我们证明：Q从Q0变到A时，S(CPQ)是单调增的，这样足矣。分两步：

1. 证明Q在A, Q0之间时，GQ>GP.
过Q0作BC平行线交PQ于点X, 则X一定在GQ上。由GP0=GQ0以及三角形全等，可知GX=GP, 故GQ>GP.

2. 设Q'在A, Q0之间，相应的P记作P'. 证明S(CP'Q')>S(CPQ).
为此，只需证S(GQQ')>S(GPP').
事实上，GQ>GP, GQ'>GP', ∠QGQ'=∠PGP', 由三角形面积公式S=absinC/2, 即知S(GQQ')>S(GPP').

这样，我们就说明了Q从Q0变到A时，S(CPQ)是（严格）单调增的。
而Q=Q0时S(CPQ):S(CAB)=4/9, Q=A时S(CPQ):S(CAB)=1/2, 就说明S(CPQ)=S1，而且S1/S的最小、最大值分别是4/9,1/2.

至于为什么(4/9,1/2)中的值都可以取到，这个本质上是连续性，在中学范围内无法严格证明。不过可以这样理解：三角形ABC固定以后，当Q从Q0变到A时，S(CPQ)的变化过程是连续的；只要Q的变化量很小，S(CPQ)的变化量也很小，所以能取到所有中间值。

Answer 2

很简单吧，是中线交点的说，那一定平分BQ，BC啊！（这是关键。）那么底相等，又同高（这个你懂吧？），面积自然相等啊。所以，S1：S=1:2，够简单了。。。
不过你有这份钻研的精神，数学一定不会差，就是别进到牛角尖去钻。。（想当年我也和你一样~）努力的孩纸，感觉你应该就要中考了~~加油吧~~

追问

。。。看清楚问题

追答

先说一下，那个最大值显然是1/2,至于最小么。。。这个牵涉到二次函数的问题。。。不算难，可是抱歉我找不到草稿纸。。。

Answer 3

s1/s=1 没有范围
设想一条线吊着这个三角形 无论线在哪 一定过重心

追问

你回去再慢慢学习吧~

追答

过重心就说明两边重量相等

追问

什么重量啊，这个是平面啊，而且重心的定义是中线的交点。。。。
总之你再想想吧~ 你先想一个简单的反例，推翻你这个1：1的观点(应该是1：2，我问的是小的比全部)
在这条直线是中线的时候才是1：2的

Answer 4

1:4

追问

。。。。
专业点，好不好！！！
我问的是一个取值范围。。。
就算你这个是表示1到4，但明显这个问题的取值区间，都是小于1的

Answer 5

S1/s=1/2

追问

我不想再强调了，你看看前面的怎么回答的吧

追答

重心在物理上指质量 （厚度一样） 数学则表示过它能平分面积 题目说范围 你就信啦 太容易受骗了

追问

我去。。。
你自己回家翻翻数学课本，或者问问数学老师吧~~
三角形的重心----三条中线的交点
还有这个题目是我自己出的。

追答

中线意义明白么 图画不了 能证的

追问

我晕~~~
你以为，那三条中线分三角形的面积相等，就以为过这三条线的交点的所有直线都分三角形的面积相等啊~~
你自己想一个反例吧~

追答

当平行于底边时S1/S=4/9 用图形相似 ？ [4/9,1/2] 再思考 3角形重心比较特别