Question

以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足MF1=2MO=2MF2，则该椭圆的离心率是多少

Answer 1

延长MO与椭圆交于N,因 MN 与 F1F2 互相平分, 所以四边形 MF1NF2 是平行四边形,
根据平行四边形 "对角线的平方和等于四条边的平方和",

所以有:MN²+F1F2²=MF1²+MF2²+NF1²+NF2²
MF1+MF2=2MF2+MF2=3MF2=2a (长轴长) ,NF1= MF2=(2/3)a, NF2= MF1=(4/3)a,
F1F2=2c,代入上式
[ (4/3) a]²+(2c)²=[(4/3)a]²+[(2/3)a]²+[(2/3)a]²+[(4/3)a]²
c²/a²=2/3
e=√(2/3)=√6 / 3.

Answer 2

设M(x,y)
|F1F2|=2a
长轴为2m
(x+a)^2+(y-0)^2=4MO^2
x^2+y^2=MO^2
(x-a)^2+(y-0)^2=MO^2
得
a=√6MO/2
2m=3MO

e=2a/2m=√6MO/3MO=√6/3