Question

已知圆C:x^2+y^2-2x-4y-4=0,一条斜率等于1的直线L与圆C交于A,B,求三角形ABC面积最大时圆的方程

圆C:x^2+y^2-2x-4y-4=0
问题错了

1.求三角形ABC面积最大时L的方程
2.若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围

Answer 1

设 L 方程为 y=x+b 。圆方程化为 (x-1)^2+(y-2)^2=9 。
（1）圆心到直线距离为 d=|1+b-2|/√2 ，弦长为 |AB|=2√(9-d^2)=√[36-2(b-1)^2] ，
所以 SABC=1/2*|AB|*d=1/2*|b-1|/√2*√[36-2(b-1)^2] ，
由均值不等式，(√2*|b-1|)*√[36-2(b-1)^2]<=[(√2*|b-1|)^2+36-2(b-1)^2]/2=18 ，
当且仅当 √2*|b-1|=√[36-2(b-1)^2] 即 b=4 或 b= -2 时取等号，
所以三角形 ABC 面积最大时，L 方程为 y=x+4 或 y=x-2 。
（2）代入圆的方程得 x^2+(x+b)^2-2x-4(x+b)-4=0 ，
化简得 2x^2+2(b-3)x+(b^2-4b-4)=0 ，
因为 L 与圆 C 将于两点 ，因此上式有两个不同实根 ，
所以判别式=4(b-3)^2-8(b^2-4b-4)>0 ，（1）
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2=3-b ，x1*x2=(b^2-4b-4)/2 ，
所以 y1*y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b^2 ，
因为 O 在以 AB 为直径的圆内 ，
所以 x1x2+y1y2<0 ，
即 b^2-4b-4+b(3-b)+b^2<0 ，（2）
解（1）（2）取交集得 (1-√17)/2<b<(1+√17)/2 。

Answer 2

C:(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9，R=3
设弧AB对应的圆心角为T，ABC面积=R^2*sin(T/2)cos(T/2) = 9/2 sinT
当T=90度时，ABC面积最大，此时L与C距离为Rcos45=3/sqrt(2)
L:y=x+4或y=x-2
AB=3sqrt(2)