Question

如图，已知抛物线y=- 1 2 x2+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．

如图，已知抛物线y=-1/2x的平方+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

解：(1)令x=0，得y=4
即点B的坐标为(0，4)
令y=0，得(-1/2)x²+x+4=0
则x²-2x-8=0
∴x=-2或x=4
∴点A的坐标为(4，0)
直线AB的解析式为
(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4)
∴y=-x+4
(2)由(1)，知直线AB的解析式为y=-x+4
由y=-x+4与y=x联立，解得
其交点坐标为(2，2)
①当点P的坐标为(2，2)时，依题意可知点Q的坐标为(1，1)
正方形PEQF恰好在△OAB里面，此时正方形PEQF
与直线AB刚好有一公共点(2，2)
②又当点Q的坐标值越来越大时，正方形PEQF与直线AB恒有两个交点
③而当点Q的坐标为(2，2)，即点P的坐标为(4，4)时，正方形PEQF
恰好在△OAB的外面，此时正方形PEQF刚好与直线AB有一公共点(2，2)
④当点Q的坐标值大于2时，正方形PEQF与直线AB恒不相交，没有公共点
综上所述，点P的横坐标x的取值范围为[2，4]
(3)∵Xq+|QE|=Xp=x
又Xq=x/2
∴|QE|=x/2
即正方形PEQF的边长为x/2
①当点E、F在直线AB上时，正方形PEQF刚好被直线AB平分，EF为正方形
PEQF的对角线
则Xq+|QE|/2=2
∴x/2+(1/2)*(x/2)=2
∴x=8/3
即正方形PEQF的边长为4/3
∴S=(1/2)*|QE|²=(1/2)×(4/3)²=8/9
②当2≤x<8/3时，正方形PEQF与△OAB的公共部分为五边形
而正方形PEQF的另一部分在△OAB外面，且是以点P为顶点
的等腰直角三角形，点P(x，y)与点(2，2)的距离为斜边上的高
故h=√[(x-2)²+(y-2)²]=√2(x-2) (x=y)
又斜边长为2h=2√2(x-2)
面积为(1/2)*h*1h=2(x-2)²
∴S=Spefq-2(x-2)²
=(x/2)²-2(x²-4x+4)
=x²/4-2x²+8x-8
=(-7/4)x²+8x-8
=(-7/4)*(x-16/7)²+8/7
∴当x=16/7即正方形PEQF的边长为16/7时，S取得最大值8/7
③当8/3<x≤4时，正方形PEQF与△OAB的公共部分为三角形
且三角形是以点Q为顶点的等腰三角形，点Q与点(2，2)的距离
为斜边上的高
故h'=√[(2-x/2)²+(2-y/2)²]=√2(2-x/2) (x=y)
斜边为为2h'=2√2(2-x/2)
面积S=(1/2)*h'*2h'=2(2-x/2)²=(1/2)*(x-4²)
S在8/3<x≤4内，无最大值
综上所述，S的最大值为8/7