Question

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD,AC=2√2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC

1.证明：PC⊥平面BED
2.设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角。

Answer 1

1）设AC、BD交于O，连接EO。过A作AF//EO交PC于F

• 由线面垂直性质易知PA⊥BD，由菱形性质知AC⊥BD，又PA与AC相交于A，则BD⊥平面PAC。而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC

• 在RT⊿PAC中，由PA、AC得PC=2√3，则PC/AC=√6/2

  在⊿OCE中，由PE=2EC，AO=OC得EC=2√3/3，OC=√2，则OC/EC=√6/2

  因∠ACP为公共角，且PC/AC=OC/EC=√6/2，所以RT⊿PAC∽⊿OCE，易知OE⊥PC

• 因BD⊂平面BED，OE⊂平面BED，结合上述两个结论知PC⊥平面BED。证毕

2）过A作AF⊥PB交PB于F。设PD与平面PBC所成角为θ

• 由二面角A-PB-C为90°知平面APB⊥平面PBC。而平面APB∩平面PBC=PB，且AF⊥PB，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥BC。又PA⊥底面ABCD有PA⊥BC，而AF与PA交于平面APB，则BC⊥平面APB。又AB在平面PAB上，知BC⊥AB，进而知ABCD为正方形（菱形性质）。在RT⊿PAD中，由ABCD为正方形得AD=2，则PD=2√2

• 易知AD//BC，又BC⊂平面PBC，则AD//平面CPB，说明D到平面PBC的距离=A到平面PBC的距离。显然，A到平面PBC的距离即AF。在RT⊿PAB中，AB=2，PA=2，则AF=√2

• 由直线与平面所成角的定义及三角函数定义知，sinθ=AF/PD=1/2，从而得θ=30°

Answer 2