Question

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC,

（1）证明：PC⊥平面BED
（2）若直线ED和面ABCD所成的角是30°，求四棱锥P-ABCD的体积

Answer 1

第一问：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC
所以BD⊥面ACP，所以PC⊥BD

设AC，BD交于点O
CE=PC/3=2√3/3
CE/CO=(2√3/3)/√2=√6/3=AC/PC
所以△PAC相似于△OEC
所以∠OEC=∠PAC=90°，即PC⊥EO

所以PC⊥平面BED

第二问：
作EK⊥AC交AC于K
则EK=AP*CE/CP=2/3
ED=EK/sin30°=EK*2=4/3
△CED为RT△，所以CD=2√7/3
OD=√(CD^2-OC^2)=√10/3

底面积=2*OC*OD=4√5/3
四棱锥P-ABCD的体积：V=S*h/3=8√5/9

解毕