Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2 2 ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC． （Ⅰ）证

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故
PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，
·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则m＝(b，，0)．
设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
n·＝0，n·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.
因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，
cos〈n，〉＝＝，
〈n，〉＝60°.
因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，
故PD与平面PBC所成的角为30°.
G6 三垂线定理

Answer 2

• 如图，作F点，使PF等于三分之一PC，AC与BD交与H，连接EH、AF。因为PE=2EC，所以EC=EF=PF,又因为EH为三角形FAC的中位线，所以EH平行EA，如果PC垂直平面BEO，则PC垂直EF,所以PC垂直FA,所以AF为三角形PCA的高，又因为AC=PA=2，所以三角形的高应该在PC中点，与上面所证矛盾呀！

是不是条件给错了？不过也有可能是我看错了，错了请原谅

Answer 3

图

Answer 4

哥们儿，给张图啊！！拿windows自带的画图工具画上一下吧

Answer 5

尼玛，真纠结，寒假作业也是这条不会做第二问