Question

点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G

点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，说明理由；）（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．

Answer 1

第一个问题：
∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC、DG＝BC/2。
∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC、EF＝BC/2。
由DG∥BC、EF∥BC，得：DG∥EF。
由DG＝BC/2、EF＝BC/2，得：DG＝EF。
由DG∥EF、DG＝EF，得：DEFG是平行四边形。

第二个问题：
结论是成立的。即此时DEFG也是平行四边形。［证法同上］

第三个问题：
∵D、E分别是AB、OB的中点，∴DE＝OA/2，又DG＝BC/2，而DEFG是菱形，∴DE＝DG，
∴OA＝BC。
∴当OA＝BC时，DEFG是菱形。