Question

如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F。

若o为AB的中点，求证求证EF=AF

Answer 1

证明：
∵∠1=∠2=∠3，∠ADB=90°,
∴∠1=∠2=∠3=30° BE=AE
∵BD=CD
∴∠1=∠BCD=30°
∴∠2=∠BCD=30°
∴DC∥AB ∠BDC=120°
∴四边形ABCD是梯形
∴∠3=∠ADC=30°
∴DE=EC,
∴BC=AD
∴四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ACB=90° ∠BAC=60° ∠4=30°
∴∠CEA=90-30=60°
∵CH⊥AB
∴∠ACH=30°=∠4
∴CF=AF ∠ECF=90-30=60°
∴EF=CF
∴EF=AF

Answer 2

在三角形ABD中，∠ADB=90º，∠1=∠2=∠3，且∠1+∠2+∠3=90º
所以，∠1=∠2=∠3=30º，
又，BD=CD， 则∠1=∠BCD=30º，
又CH⊥AB，∠2=30º， 在直角三角形BCH中，∠BCH=60º，
所以，∠DCH=∠BCD+∠BCH=90º, 所以， DC∥AB
∴ ∠ADC=∠3=30º, ∴∠BCD=∠ADC=30º
∴DE=CE
∵∠2=∠3
∴BE=AE, ∴AD=BC，且DC∥AB
则四边形ABCD 为等腰梯形
∴∠ABD=∠BAC=60º, ∠4=30º
在三角形ACH中，∠CAH=60º, ∠AHC=90º, ∴∠ACH=30º
∴∠ACH=∠4=30º, ∴AF=CF
在三角形AFH中，∠AFH=60º, ∠EFC=∠AFH=60º
又∵∠BCH=60º， ∴在三角形CEF中，∠EFC=∠ECF=∠FEC=60º
∴EF=CF， 又∵CF=AF
∴EF=AF