Question

证明函数f(x)=x平方+1在（-无穷大，0）上是减函数

Answer 1

证明：
设x1<x2<0.
f(x1)-f(x2)=x1^2+1-(x2^2+1)=x1^2-x2^2=(x1+x2)(x1-x2)
因为 x1<x2<0
所以 x1+x2<0, x1-x2<0
于是，
f(x1)-f(x2)=(x1+x2)(x1-x2)>0
即f(x1)>f(x2)
因此，该函数在（负无穷，0）上式减函数。

Answer 2

f(x)=x^2+1
f'(x)=2x
当x<0时，f'(x)<0
故f(x)在(-∞,0)单调递减，为减函数

Answer 3

　　法1：
　　在（-无穷大，0）任取两个数X1，X2 X1>X2,则 X1平方<X2平方，所以X1平方+1<X2平方+1
　　所以f(x)=x平方+1 在（-无穷大，0）上是减函数
法2：
不知道你学过导数没有
f(x)'=2x 在（-无穷大，0）上2x<0,即f(x)'<0,所以f(x)=x平方+1 在（-无穷大，0）上是减函数

Answer 4

学过导数没，学过的话，直接求导
没学过的话，又单调性的定义得
设x1，x2在函数定义域内，并且x1<x2<0
f(x1)-f(x2)=x1^2+1-(x2^2+1)=(x1-x2)(x1+x2)>0
所以函数f(x)=x平方+1在（-无穷大，0）上是减函数

Answer 5

证明函数f(x)=x平方+1在（-无穷大，0）上是减函数
设x1,x2<0 且x1<x2
f(x1)=x1^2+1
f(x2)=x2^2+1
f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2
=(x1-x2)(x1+x2)
因为 x1<x2<0 所以 x1+x2<0 x2-x2<0
即 f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=x平方+1在（-无穷大，0）上是减函数